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{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 268 "We can see the connection between the mo
tion of a particle executing uniform\ncircular motion and a particle e
xecuting simple harmonic motion, say while\noscillating at the end of \+
a spring by making a few pictures of the mathematical\nrepresentation \+
of these two motions." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 197 "\nake this all \+
work we have to do the animations separately, then combine them all in
to\none plot at the end.  Again, we use radius 1, but any value for th
e radius is fine.\n\nFirst the circular path,\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 94 " P := animate([3+cos(t), 2+sin(t), t=-Pi..Pi], u=0..6
.283, color=magenta, view=[-7..7, 0..4]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 58 "\nNext, the line segment indicating where the particle is
.\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 116 "Q := animate([3-t*sin(-2*Pi
*u/(2*Pi)), 2-t*cos(-2*Pi*u/(2*Pi)), t=0..1], u=0..6.283, color=red, v
iew=[-7..7, 0..4]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 148 "\nNow for
 the dot indicating the vertical position of the particle.  This point
 also marks the\nposition of a pen on a vertically oscillating spring.
\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 111 "R := animate([1.0+0.05*cos(t
), 0.05*sin(t)+2-cos(u), t=-Pi..Pi], u=0..6.283, color=orange, view=[-
7..7, 0..4]):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "\nThe spring its
elf is represented by a prolate cycloid.\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 154 "S:=animate([0.8-0.2*cos((1.5*sin(u)+2)*t),  0.1*t - \+
0.2*sin((1.5*sin(u)+2)*t)+4.0, t=-43.3..0], u=0..3.142, color=green, v
iew=[-7..7,0..4],numpoints=200):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
143 "\nWe also need to draw the path of the pen on a sheet of paper go
ing\nunderneath the pen.  The shape drawn out is a sine (actually cosi
ne here).\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "T:= animate([1.0-t/
4, 2-cos(t-u), t=0..9*Pi], u=0..6.283, view=[-7..7, 0..4], color=blue,
 numpoints=500):" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "\nNow we dis
play them all together on the same plot.  You should go to the project
ions pull-down menu\nand select \"constrained\" to see the things disp
layed on equal x,y axes.\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(
plots):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "display([P, Q, R
, S, T]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6$-%(ANIMATEG627'-%'CURVESG6$7
S7$$\"\"#\"\"!$\"1+++++++?!#:7$$\"1!>E'Q^b3?F1$\"1[*zx!QZp=F17$$\"1K4r
tT2M?F1$\"1zu*[&4=T<F17$$\"18()[n/7w?F1$\"16\\jnlJ<;F17$$\"1hb@'fuR8#F
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\"1`M\")=K*GH\"F17$$\"1z7*4dQ7R#F1$\"1m(3(fmk17F17$$\"1*************\\
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w$\"1R'zJu^Sv\"F17$Fgiw$\"17JUv&Q$4=F17$F\\jw$\"1zY\"zPP_'=F17$Fajw$\"
1C],J(o:#>F17$Ffjw$\"1\\urE=:y>F17$F[[x$\"1!Q\"**[]![.#F17$F`[x$\"1;%>
nbY84#F17$Fe[x$\"1SoNn[fZ@F17$Fj[x$\"10-WR%pL?#F17$F_\\x$\"1A`2_7\\eAF
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$\"1cQL&ob*oCF17$Fh]x$\"1AsM-9A=DF17$F]^x$\"1m'4DxBec#F17$Fb^x$\"1%oEa
+5;h#F17$Fg^x$\"1%>++9Lal#F17$F\\_x$\"1qG8;D:(p#F17$Fa_x$\"15!3iAMmt#F
17$Ff_x$\"17e*[a^Px#F17$F[`x$\"14l!fL&Q3GF17$F``x$\"1'y%QMWUSGF17$Fe`x
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F17$Fgcx$\"19M)QaA()*HF17$F\\dx$\"1xL\\M\"eU*HF17$Fadx$\"1-I[KCg')HF17
$Ffdx$\"1K1`5+yvHF17$F[ex$\"1!f1cgD='HF17$F`ex$\"1WrZ2SyWHF17$Feex$\"1
&zT\\\"*4Z#HF17$Fjex$\"13`Egxm,HF17$F_fx$\"1L!oB]Jd(GF17$Fdfx$\"1*HQ%*
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y$\"1'4\"[M`WU7F17$F^ay$\"17K&pa$p17F17$Fcay$\"1W%HH0)[t6F17$Fhay$\"1`
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17$F[dy$\"16k*o!*Q/,\"F17$F`dy$\"13G+)flQ+\"F17$Fedy$\"12u-/'*[+5F17$F
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q:&41@!>5F17$F^fy$\"1P_W3%)eJ5F17$Fcfy$\"1G5L)3ks/\"F17$Fhfy$\"1[y-'y(
*f1\"F17$F]gy$\"1(Gm:PHx3\"F17$Fbgy$\"1N\"*e#4*Q76F17$Fggy$\"1$3P#)z(*
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F[iy$\"1z>rVb_w7F17$F`iy$\"1M%\\JO#y;8F17$Feiy$\"1X+b@@Bf8F17$Fjiy$\"1
tF(pcQPS\"F17$F_jy$\"1X@3Y)e,X\"F17$Fdjy$\"1-ymiRM)\\\"F17$Fijy$\"1%)4
)eDR\"[:F17$F^[z$\"18Hl'*[Q*f\"F17$Fc[z$\"1Y<q+k\">l\"F17$Fh[z$\"1b9[c
^c0<F17$F]\\z$\"1#4yj'*e,w\"F17$Fb\\z$\"1CjT*fAb\"=F17$Fg\\z$\"1DAq`$y
9(=F17$F\\]z$\"1IqzEm%y#>F17$Fa]z$\"106>#\\YW)>F17$Ff]z$\"1Ay-!G'4T?F1
7$F[^z$\"1rL@gTh(4#F17$F`^z$\"1&)3/E(=Q:#F17$Fe^z$\"1;cXw&H&4AF17$Fj^z
$\"1VA4&*yckAF17$F__z$\"1ndACqv=BF17$Fd_z$\"1sPzJI#>P#F17$Fi_z$\"1k+np
_*QU#F17$F^`z$\"1(y(R@p]uCF17$Fc`z$\"1URiPbfBDF17$Fh`z$\"1<n^dN+rDF17$
F]az$\"1D?\\9)ylh#F17$Fbaz$\"1%*fiC]<gEF17$Fgaz$\"1ed=cAl,FF17$F\\bz$
\"1x9xyt(3u#F17$Fabz$\"1mzi!\\Cxx#F17$Ffbz$\"1\"QaFKv?\"GF17$F[cz$\"1z
[^='>Q%GF17$F`cz$\"1>=`([bG(GF17$Fecz$\"1$eDFt*3**GF17$Fjcz$\"1S8X\\\"
QC#HF17$F_dz$\"1vDx&zDG%HF17$Fddz$\"13R+Ls=gHF17$Fidz$\"1.6vNnYuHF17$F
^ez$\"1BTxq%=c)HF17$Fcez$\"1+\"*4Wmg$*HF17$Fhez$\"1hq!fh0%)*HF17$F]fz$
\"1D1$G)******HF1F_fz-%%VIEWG6$;$!\"(F.$\"\"(F.;F.Fjr" 2 472 463 463 
2 0 1 0 2 9 0 4 1 1.000000 45.000000 45.000000 10030 10061 10056 
10074 0 0 0 20530 0 12010 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 280 251 1 0 1 0 100 
0 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Now let's consider just the m
ass oscillating on the end of the spring.  We need to" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 86 "describe the motion by finding a way to predict the po
sition and velocity as functions" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "of ti
me.  How do we do that?  Use the equation of motion!" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 81 "Since we know the net force acting on a mass m at the e
nd of a spring with spring" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "constant k \+
is F = -k*x, the equation of motion must be F = ma = -k*x ==> a = -(k/
m)*x." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Maple can take from here.  Ask i
t to find x(t) for the equation of motion we specified." }}{PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 42 "dsolve(diff(x(t), t$2)=-(k/m)*x(t), x(t));" }}{PARA 11 "" 1 "
" {XPPMATH 20 "6#/-%\"xG6#%\"tG,&*&%$_C1G\"\"\"-%$sinG6#*&-%%sqrtG6#*&
%\"kG\"\"\"%\"mG!\"\"F5F'F+F+F+*&%$_C2GF+-%$cosGF.F+F+" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "That's not terribly enlightening.  But it
 is the most general solution.  Luckily, we can get Maple" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 96 "to a little more work that's interesting for physi
cs, because we can give it information that is" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 96 "physically relevant.  For example, we know at time t=0 th
at the mass starts off at some position" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
92 "which is displaced from the equilibrium point.  Let's call that po
int d.  We also know that," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 105 "at time t=
0, the initial velocity is zero.  Maple allows us to put that informat
ion directly into dsolve." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "dsolve
(\{diff(x(t),t$2)=-(k/m)*x(t), x(0)=d, D(x)(0)=0\}, x(t));" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 95 "Now we see that the constants _C1 and _C2 are dir
ectly tied to the initial position in the case" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 105 "where the initial velocity is zero.  Still, the answer l
ooks funny, doesn't it?  Both the spring constant" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 92 "and the mass are magnitudes, and therefore positive.  So \+
it looks like the solution involves" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "ex
ponentials of imaginary numbers!  Can that be physical?  Look at a plo
t to find out." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "assign(%);" }}
{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%\"xG6#%\"tG*&%\"dG\"\"\"-%$cosG6#*&
-%%sqrtG6#*&%\"kG\"\"\"%\"mG!\"\"F4F'F*F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 40 "plot(subs(\{k=1,m=1,d=5\},x(t)), t=0..25);" }}
{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6%-%'CURVESG6$7av7$\"\"!$\"\"&F(7$$\"1ML3x1
h6o!#<$\"1'ycU(\\S))\\!#:7$$\"1nmTN@Ki8!#;$\"1Qf([ntO&\\F17$$\"1+]7.K[
V?F5$\"1C;)f=nf*[F17$$\"1LL$3FWYs#F5$\"1aN'3:`b\"[F17$$\"1++D1k'p3%F5$
\"1FN[uy>)e%F17$$\"1nmmT&)G\\aF5$\"1gn^f3#eF%F17$$\"1+]7`p)*>yF5$\"1Os
[)QKva$F17$$\"1L$ek`o!>5F1$\"1?>Derz?EF17$$\"1<H#=XtB:\"F1$\"1g,gb%*fJ
?F17$$\"1+v=n$ycG\"F1$\"1rOD`KN19F17$$\"1$3_DG$)*=9F1$\"1\"HI&z&G:c(F5
7$$\"1nm\"z>)G_:F1$\"1AW\"p6OND*F.7$$\"1n;zWnZ'o\"F1$!1[(HMFH6x&F57$$
\"1nmm\"Hl1#=F1$!1yt$y(\\QO7F17$$\"1n;aQQ&[&>F1$!1+m>ntUt=F17$$\"1nmT&
QU!*3#F1$!1Sw)=N'ywCF17$$\"1%3_v:$fAAF1$!1jBMz#zI.$F17$$\"1+voHR9cBF1$
!1xX.V^NNNF17$$\"1<H#=q%p*[#F1$!1d3)RvoY(RF17$$\"1L$eRZXKi#F1$!1f(yxB'
>VVF17$$\"1+](oz#)3(GF1$!1A+Iil!z\"[F17$$\"1n;z>,_=JF1$!1:%)\\/#p')*\\
F17$$\"1LL$ekBE=$F1$!1#)yjM<z&*\\F17$$\"1+](=<FnC$F1$!1#y]jF#Rs\\F17$$
\"1nm\"zpI3J$F1$!1p0A^pcG\\F17$$\"1L$eRAM\\P$F1$!1g9L(y&\\k[F17$$\"1n;
/w79.NF1$!1NOI43vwYF17$$\"1+]7G$[8j$F1$!1VA\"34RAT%F17$$\"1n;zW-%Rw$F1
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$\"1L$3-Q\\gU%F1$!1[ry2Q@79F17$$\"1mm\"H2;#eXF1$!1%*)o5[V\"ywF57$$\"1+
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$\"1mI_)pu@\\#F17$$\"1+]iS1ntaF1$\"1yGhi$\\#\\MF17$$\"1omTg(fJr&F1$\"1
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*\\F17$$\"1,]7yX0?jF1$\"1VO4F?g'*\\F17$$\"1-+vVLt(Q'F1$\"1Zp!4:*ps\\F1
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\"1]7G))*)4!3\"Fcbl$!1C'RX(*Rzm*F57$$\"1+v$f)[$H4\"Fcbl$!1j762:&)3LF57
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(oavL\\`\"Fcbl$!15tnF.!>o%F17$$\"1+DJ&>r-c\"Fcbl$!17(R(e4Ls\\F17$$\"18
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iU&yd\"Fcbl$!1n/#eb^v)\\F17$$\"1Qfev3P\"e\"Fcbl$!1rOmp22s\\F17$$\"1W['
*)[()[e\"Fcbl$!1.r=r=W]\\F17$$\"1]PM-TS)e\"Fcbl$!1\"Qi^g\"pA\\F17$$\"1
v$febqCg\"Fcbl$!1b@qGdF^ZF17$$\"1+]P4q`;;Fcbl$!19\")=\"f.g[%F17$$\"1mT
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G`*e!o\"Fcbl$!1g/:n0>xAF17$$\"1m;z>Z3%p\"Fcbl$!1[RGY8fd;F17$$\"1L3x1*z
vq\"Fcbl$!1E[eZ)\\y+\"F17$$\"1++v$4v5s\"Fcbl$!1(>Y2?7yR$F57$$\"1#HK*QP
IL<Fcbl$\"1ipkptb7FF57$$\"1$e9TQKbu\"Fcbl$\"1&3e]%RT#y)F57$$\"1voHH5wd
<Fcbl$\"1()Q-4-6s9F17$$\"1n\"zWn*)*p<Fcbl$\"1'pT;a#*R/#F17$$\"1v=n8)eL
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W?Fcbl$!1vxcG5U\"G\"F57$$\"1$eRAcgv0#Fcbl$!1V3ST:_JxF57$$\"1DJ&pxA02#F
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bl$!1^\\qd:(3g#F17$$\"1nT5lk**4@Fcbl$!1xzcezXUJF17$$\"1<H#=?_K7#Fcbl$!
1rs,1w!*GOF17$$\"1n;aQz]O@Fcbl$!1**Q`!Q&o^SF17$$\"1]Pf$))*zi@Fcbl$!1yI
abI\"Rn%F17$$\"1MekG=4*=#Fcbl$!17v%>u0\\(\\F17$$\"10wP?<8&>#Fcbl$!1L#4
!zT.'*\\F17$$\"1w$4@hr6?#Fcbl$!1%*HTxC%*)*\\F17$$\"1Y6%Q]6s?#Fcbl$!1)>
E3.?O)\\F17$$\"1<Hd&R^K@#Fcbl$!1M4**=F7]\\F17$$\"1ek.z6LDAFcbl$!1snX%)
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\"1nmmT>KUBFcbl$!1tc=Qy/9pF57$$\"1D\"G)[Z_bBFcbl$!1G]e'y\"o[LF.7$$\"1$
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S?CFcbl$\"1,E*og\"[%*HF17$$\"1]Pf$[VIV#Fcbl$\"1M-Hk<DvMF17$$\"1+voa-oX
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tJfS,c\\F1-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(F(-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"%!G-%
%VIEWG6$;F(Ficn%(DEFAULTG" 2 304 304 304 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 
45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 
-22952 8203 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "That ce
rtainly appears real enough.  It even reminds us of some functions we'
ve seen before." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "Let's try mimicking th
is solution with a cosine function.  First, the amplitude or maximum v
alue" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "of the function should 5 since th
e solution above oscillates between 5 and -5.  Second, the" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 96 "period of the oscillation appears to be about 6.2
5.  We can connect the value of the cosine part" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 93 "of the function to time by noting that 2*Pi*t/T where T i
s the period tells us where the sine" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "i
s in its values between -1 and 1.  That is to say, when t = T/2, the c
osine should give us -1" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "since T/2 corr
esponds to half-way thru a complete cycle.  So we're all set.  The fun
ction we" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "want to try is 5*cos(2*Pi*t/6
.25).  Actually, since 2*Pi is very close to 6.25, we could just" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "try something slightly simpler, namely 5*
cos(t).  Let's see what happens." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 
"plot(5*cos(t), t=0..25);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6%-%'CURVESG6$
7av7$\"\"!$\"\"&F(7$$\"1ML3x1h6o!#<$\"1'ycU(\\S))\\!#:7$$\"1nmTN@Ki8!#
;$\"1Qf([ntO&\\F17$$\"1+]7.K[V?F5$\"1C;)f=nf*[F17$$\"1LL$3FWYs#F5$\"1a
N'3:`b\"[F17$$\"1++D1k'p3%F5$\"1FN[uy>)e%F17$$\"1nmmT&)G\\aF5$\"1gn^f3
#eF%F17$$\"1+]7`p)*>yF5$\"1Os[)QKva$F17$$\"1L$ek`o!>5F1$\"1?>Derz?EF17
$$\"1<H#=XtB:\"F1$\"1g,gb%*fJ?F17$$\"1+v=n$ycG\"F1$\"1rOD`KN19F17$$\"1
$3_DG$)*=9F1$\"1\"HI&z&G:c(F57$$\"1nm\"z>)G_:F1$\"1AW\"p6OND*F.7$$\"1n
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[&>F1$!1+m>ntUt=F17$$\"1nmT&QU!*3#F1$!1Sw)=N'ywCF17$$\"1%3_v:$fAAF1$!1
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\"1n;z>,_=JF1$!1:%)\\/#p')*\\F17$$\"1LL$ekBE=$F1$!1#)yjM<z&*\\F17$$\"1
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$\"1</w7`Kw7Fcbl$\"13dv;eS.\\F17$$\"1#z>h&\\5!H\"Fcbl$\"1hwpm!zDs%F17$
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$$\"1n;zWho.9Fcbl$\"1_BO^*oo+&F57$$\"1](=#*4qqT\"Fcbl$!1oIB=$)Qw;F57$$
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!Q&o^SF17$$\"1]Pf$))*zi@Fcbl$!1yIabI\"Rn%F17$$\"1MekG=4*=#Fcbl$!17v%>u
0\\(\\F17$$\"10wP?<8&>#Fcbl$!1L#4!zT.'*\\F17$$\"1w$4@hr6?#Fcbl$!1%*HTx
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7$$\"1<zW#4t^I#Fcbl$!1sSs;*>=W#F17$$\"1+v=Ugb<BFcbl$!1txr^&4U)=F17$$\"
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V#Fcbl$\"1M-Hk<DvMF17$$\"1+voa-oXCFcbl$\"1P*=v8+1!RF17$$\"1]PMF,%GZ#Fc
bl$\"1\"\\1ZL6of%F17$$\"#DF($\"1otJfS,c\\F1-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"
\"F(F(-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"%!G-%%VIEWG6$;F(Ficn%(DEFAULTG" 2 304 
304 304 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 8229 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 72 "Looks good.  Let's plot this on top of our original \+
solution from Maple." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "plot(\{5*co
s(2*Pi*t/6.25), subs(\{k=1,m=1,d=5\},x(t))\},t=0..25);" }}{PARA 13 "" 
1 "" {INLPLOT "6&-%'CURVESG6$7av7$\"\"!$\"\"&F(7$$\"1ML3x1h6o!#<$\"1'y
cU(\\S))\\!#:7$$\"1nmTN@Ki8!#;$\"1Qf([ntO&\\F17$$\"1+]7.K[V?F5$\"1C;)f
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F17$$\"1nmmT&)G\\aF5$\"1gn^f3#eF%F17$$\"1+]7`p)*>yF5$\"1Os[)QKva$F17$$
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1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "The two
 plots lie practically on top of each other.  If you use 5*cos(t), in \+
fact they do lie" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "on top of one another
.  So we've learned some very interesting things.  First, in physics,
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "we can describe the oscillation with \+
a cosine (or a sine) function.  Second, in mathematics," }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 89 "we seen that there's some deep connection between ex
ponential functions and trigonometric" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "
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1 1 0 1 1 1803 }